Simulations et illustration des grands théorèmes

Contents

Simulation d'une loi de Bernoulli

On ferme les figures déjà ouvertes, on efface les variables de l'environement et on efface l'espace de travail.

close all;clear all;clc;

Affichage de la simulation en cours

fprintf('*** Simulation d'' une variable de Bernoulli ***\n\n');

*** Simulation d' une variable de Bernoulli ***

On choisit les valeurs de $n$ et $m$ : on va effectuer $n\times m$ tirages de Bernoulli, que l'on renverra dans une matrice de taille $n\times m$

n = 100;
m = 100;

On fixe la valeur de $p$

p = 0.5;

On effectue les simulations

X = pileouface(n,p,m);

On calcule les moyennes empiriques

m_empirique = mean(X(:));
var_empirique = var(X(:));

On les compare aux valeurs theoriques

calcul_moyenne_variance_theorique_bernoulli
fprintf('moyenne theorique = %f ; moyenne empirique = %f -- variance theorique : %f ; variance empirique = %f\n',m_theo,m_empirique,var_theo,var_empirique);

moyenne theorique = 0.500000 ; moyenne empirique = 0.495800 -- variance theorique : 0.250000 ; variance empirique = 0.250007

On va dessinner le diagramme en baton permettant de "lire" directement les probabilités de prendre les diverses valeurs de la loi.

On commence par générer les valeurs de $\Omega$, et créer un vecteur $P$ qui contiendra les différentes probabilités empiriques associées.

Omega = 0:1; % Valeurs que peut prendre la loi
P = zeros(length(Omega),1); % Vecteurs pour calculer les proba empiriques

On boucle sur toutes les valeurs de $\Omega$, et on calcule les probabilités empiriques

j = 0;
for k=Omega % pour toutes les valeurs que peut prendre la loi
    j = j+1;
    P(j) = sum(X(:)==k)/(n*m); % On calcule les proba empiriques
end

Enfin, on dessine le diagramme en baton

bar(Omega,P,0.1,'r');
title(['Loi de Bernoulli -- p = ',num2str(p)]);

Simulations pour $p=0.2$

Bernoulli_p02

moyenne theorique = 0.200000 ; moyenne empirique = 0.199500 -- variance theorique : 0.160000 ; variance empirique = 0.159716

Simulations pour $p=0.8$

Bernoulli_p08

pause;

moyenne theorique = 0.800000 ; moyenne empirique = 0.801900 -- variance theorique : 0.160000 ; variance empirique = 0.158872

Simulation d'une loi Binomiale

On ferme les figures déjà ouvertes, on efface les variables de l'environement et on efface l'espace de travail.

close all;clear all;clc;

Affichage de la simulation en cours

fprintf('\n\n*** Simulation d'' une loi binomiale ***\n\n');


*** Simulation d' une loi binomiale ***

On fixe les paramètres $n$ et $p$, ainsi que le nombre de simulations $m$

n = 10;
p = 0.5;
m = 10000;

On lance les simulations

X = binomiale(n,p,m);

On calcule la moyenne et la variance empirique, qu'on compare aux valeurs théoriques

calcul_moyenne_variance_theorique_binomiale

moyenne theorique = 5.000000 ; moyenne empirique = 4.994800 -- variance theorique : 2.500000 ; variance empirique = 2.484821

On crée $\Omega$ ainsi que le vecteur de probabilités empiriques associé

Omega = 0:n;
P = zeros(length(Omega),1);

j=0;
for k=Omega
    j = j+1;
    P(j) = sum(X(:)==k)/m;
end

On dessine le diagramme en baton

figure(1);
bar(Omega,P,0.1,'r');
title(['Loi binomiale: p = ',num2str(p)]);

Simulations pour $p = 0.2$

Binomiale_p02

moyenne theorique = 2.000000 ; moyenne empirique = 1.983800 -- variance theorique : 1.600000 ; variance empirique = 1.575495

Simulations pour $p = 0.8$

Binomiale_p08

pause;

moyenne theorique = 8.000000 ; moyenne empirique = 8.023000 -- variance theorique : 1.600000 ; variance empirique = 1.577229

Simulation d'une loi Géométrique

On ferme les figures déjà ouvertes, on efface les variables de l'environement et on efface l'espace de travail.

close all;clear all;clc;

Affichage de la simulation en cours

fprintf('\n\n*** Simulation d'' une loi geometrique ***\n\n');


*** Simulation d' une loi geometrique ***

On fixe le nombre de simulations $m$ et le paramètre $p$

m = 10000;
p = 0.5;

On lance les simulations

[X] = geometrique(p,m);

On calcule la moyenne et la variance empirique, qu'on compare aux valeurs théoriques

calcul_moyenne_variance_theorique_geometrique

moyenne theorique = 2.000000 ; moyenne empirique = 1.999100 -- variance theorique : 2.000000 ; variance empirique = 1.941293

On crée $\Omega$ ainsi que le vecteur de probabilités empiriques associé

maxX = max(X);
Omega = 1:maxX;
P = zeros(length(Omega),1);

j=0;
for k=Omega
    j = j+1;
    P(j) = sum(X(:)==k)/m;
end

On dessine le diagramme en baton

figure(1);
bar(Omega,P,0.1,'r');
title(['Loi geometrique: p = ',num2str(p)]);

Simulations pour $p = 0.2$

geometrique_p02

moyenne theorique = 5.000000 ; moyenne empirique = 5.043800 -- variance theorique : 20.000000 ; variance empirique = 20.682150

Simulations pour $p = 0.8$

geometrique_p08

pause;

moyenne theorique = 1.250000 ; moyenne empirique = 1.245500 -- variance theorique : 0.312500 ; variance empirique = 0.311861

Simulation d'un nombre sur un intervalle ]a,b[

On ferme les figures déjà ouvertes, on efface les variables de l'environement et on efface l'espace de travail.

close all;clear all;clc;

Affichage de la simulation en cours

fprintf('\n\n*** Simulation d'' un nombre sur un intervalle ]a,b[ ***\n\n');


*** Simulation d' un nombre sur un intervalle ]a,b[ ***

On fixe le nomre de simulations $n\times m$ ainsi que les paramètres $a$ et $b$

n = 100;
m = 100;

a = -5;
b = 8;

On lance les simulations

[X] = uniforme(n,m,a,b);

On dessine l'histogramme normalisé

histogram(X,10,'normalization','pdf');

pause;

Simulation d'un dé parfait

On ferme les figures déjà ouvertes, on efface les variables de l'environement et on efface l'espace de travail.

close all;clear all;clc;

Affichage de la simulation en cours

fprintf('\n\n*** Simulation d'' un de parfait ***\n\n');


*** Simulation d' un de parfait ***

On fixe le nombre de simulations $n\times m$

n = 100;
m = 100;

On lance les simulations

[X] = de_parfait(n,m);

On crée Omega ainsi que le vecteur de probabilités empiriques, puis on dessine le diagramme en baton

diag_baton_de_parfait

pause;

Simulation d'un dé quelconque

On ferme les figures déjà ouvertes, on efface les variables de l'environement et on efface l'espace de travail.

close all;clear all;clc;

Affichage de la simulation en cours

fprintf('\n\n*** Simulation d'' un de quelconque ***\n\n');


*** Simulation d' un de quelconque ***

On fixe le nombre de simulations $n\times m$

n = 100;
m = 100;

On choisit les paramètres p1,p2,...,p5 puis on lance les simulations

p1 = 0.01;
p2 = 0.1;
p3 = 0.5;
p4 = 0.005;
p5 = 0.2;

[X] = de_quelconque(n,m,p1,p2,p3,p4,p5);

On crée $\Omega$ ainsi que le vecteur de probabilités empiriques, puis on dessine le diagramme en baton

diag_baton_de_parfait

pause;

Loi des grands nombres

On ferme les figures déjà ouvertes, on efface les variables de l'environement et on efface l'espace de travail.

close all;clear all;clc;

Affichage de la simulation en cours

fprintf('\n\n*** Loi des grands nombres ***\n\n');


*** Loi des grands nombres ***

On lance le script modifié pour illustrer la loi des grands nombres.

LGN_pileface_modif_online;
pause;

appuyer sur entree pour la simulation suivante...
appuyer sur entree pour la simulation suivante...
appuyer sur entree pour la simulation suivante...
appuyer sur entree pour la simulation suivante...
appuyer sur entree pour la simulation suivante...
appuyer sur entree pour la simulation suivante...
appuyer sur entree pour la simulation suivante...
appuyer sur entree pour la simulation suivante...
appuyer sur entree pour la simulation suivante...
appuyer sur entree pour la simulation suivante...

Théorème de la limite centrale

On ferme les figures déjà ouvertes, on efface les variables de l'environement et on efface l'espace de travail.

close all;clear all;clc;

Affichage de la simulation en cours

fprintf('\n\n*** Theoreme de la limite centrale ***\n\n');


*** Theoreme de la limite centrale ***

On dessi ne les gaussiennes pour les valeurs de sigma demandées

x = linspace(-10,10,1000);
hold on
plot(x,gaussienne(x,0,0.5^2));
plot(x,gaussienne(x,0,1^2));
plot(x,gaussienne(x,0,2^2));
legend('sigma = 0.5','sigma = 1','sigma = 2');
hold off

On lance le script tcl_pileface pour illustrer le théorème de la limite centrale

figure;
tcl_pileface_online;


Published with MATLAB® R2014b